Taylor's Series

공학수학을 공부하던중....인터넷에 좋은게 있군...후후..

출처 - http://www.mathlove.org/pds/mathqa/faq/value/value02.html

테일러 전개는 근본적으로 함수를 다항식으로 근사시키려는 것입니다. 예를 들어 x=0 근처에서 f(x) 를 "일차식" a + bx 로 근사시키려 한다고 합시다. 어떻게 해야 가장 좋은 근사일까요? 정답은 다음과 같습니다.

두 함수에 0 을 대입했을 때 같아야 하므로 f(0) = a
한번 미분하여 0 을 대입했을 때 같아야 하므로 f'(0)=b

즉, a=f(0), b=f'(0) 으로 하면 가장 좋은 근사입니다. 실제로 이것은 f(x) 의 그래프가 y 축과 만나는 점에서의 접선의 방정식입니다.

여기서 더 나아가, x=0 근처에서 f(x) 를 "이차식" a + bx + cx² 으로 근사시키려면?

0 을 대입하여 같아야 하므로 a = f(0)
미분하여 0 을 대입하여 같아야 하므로 b = f'(0)
두번 미분하여 0 을 대입하여 같아야 하므로 2c = f''(0)

즉, a, b 는 아까와 같고 c = f''(0)/2 로 하면 됩니다. 이렇게 하면 일차식으로 근사시켰을 때보다 넓은 범위에서도 상당히 그럴듯한 근사식이 됩니다.

이런 식으로 x=0 근처에서 f(x) 를 점점 고차의 다항식으로 근사시키면 원래 함수와의 오차가 점점 줄어듭니다.

실제로 e^x 를 가지고 해 보면,
e^x = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ---
라고 놓고 양변에 0 을 대입하면
1 = a₀
미분하여 0 을 대입하면
1 = a₁
다시 미분하여 0 을 대입하면
1 = 2a₂
이런 식으로 n 번 미분하여 0 을 대입하면
1 = n!a_n
즉,
e^x = 1 + x + x²/2 + x³/3! + ---

아래 그림에서 빨간 그래프가 e^x 의 그래프이고, 초록, 파랑, 분홍의 순서로 1차, 2차, 3차의 근사다항식입니다.


무한번 미분할 수 있는 함수는 이런 일을 무한히 계속할 수 있습니다. 그것이 테일러 전개입니다. (x=0 만이 아니라 임의의 수 근처에서 할 수 있습니다.)

다항식이란 가장 계산하기 쉬운 함수이기 때문에, 테일러 전개를 사용하면 편리할 때가 많습니다. 그 예로 e^x 의 테일러 전개식에 x=1 을 대입하면 바로 e 의 근사값을, 쉽게 구할 수 있습니다. π 같은 것도 이런 식으로 근사값을 구합니다.