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  • divergence와 curl
    스크랩 2007. 12. 6. 22:36
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    1. 첫번째 찾은 설명 : divergence 와 curl의 물리적 이해
     
    divegence 나 curl의 개념은 유체의 거동으로 설명하는 것이 가장 이해하기 쉽습니다.
    그래서 대부분의 책이, 님께서 보신대로, 그런 식으로 설명하는 것일 겁니다.

    간단하게 말씀드리면, divergence는 내적개념의 확장, curl은 외적개념의 확장이라고 할 수 있겠습니다.
    뿐만 아니라, 면적분과 체적적분의 변환 관계, 선적분과 면적분의 변환 관계, 이 정도로도 이해 할 수 있습니다.
    근데, 이런 건 물리적 의미가 이해되시면 당연한 것으로 받아 드릴거라 생각됩니다.

    님께서 정말 궁금해 하시는 것은 아무래도 그들의 물리적 의미일 텐데,
    다음의 네가지 경우를 비교해 보시면 금방 이해하시리라 생각됩니다.

    일단 머리속에 3차원 좌표축을 그리시고, xy평면위에서 +x축 방향으로만 공기가 이동한다고 가정하십시다.
    (일단 1차원적인 것을 이해하시면 그 다음 3차원으로 개념을 확장하시는 것은 간단합니다.)
    그리고, 그 공기 속에 임의의 control volume(직육면체로 설정하시는 것이 생각하기 편하실 겁니다)을 설정하십시오.

    첫 번째는, 공기가 x축을 따라 아무런 소용돌이 없이 일정한 속도로 이동하는경우입니다.
    이 경우는 발산도 컬도 0 입니다.

    두 번째는, 첫번째 경우와 같이 소용돌이는 없으나, 공기의 속도가 점점 증가하는 경우입니다.
    이 경우는 발산은 +값을 가지지만 컬은 0 입니다.
    공기의 속도가 증가함으로 인해 발산이 +값을 가지기 때문에(들어오는 양보다 나가는 양이 많으므로)
    컨트롤 볼륨 내의 공기의 밀도는 감소할 것입니다. 이것을 식으로 표현한 것이 연속방정식입니다.

    세 번째는, 공기의 속도는 일정하나 소용돌이 치면서 이동하는 경우입니다.
    소용돌이 방향을 반시계방향(+z)이라고 합시다.
    - 당구로 보면, 당구공의 오른쪽에 당점을 두고 공을 친 경우라고 볼 수 있겠습니다.
    병진운동과 회전운동이 결합된 경우겠죠.
    이 경우는 발산은 0 이지만, 컬은 +값(방향은 z축)을 가집니다.
    따라서, 이 공기속에 외륜(물레방아의 바퀴처럼 생긴 놈)을 띄우면,
    컬의 방향과 외륜의 축의 방향이 일치할 때 이 외륜이 가장 빠르게 회전하게 되는 겁니다.

    네 번째는, 공기가 소용돌이도 치면서 이동속도도 점점 빨라지는 경우입니다.
    뻔하겠지만, 굳이 말씀드리면, 발산도 컬도 +값을 가집니다.

    위의 네가지 경우을 비교해 보시면, 발산과 컬이 가지는 물리적 의미를 어느 정도 이해하게 되시리라 믿습니다.
     
     
     
    2. 두번째 찾은 설명 : 가우스 정리와 스토크스 정리의 정성적 설명.
     
    stoke 정리는 선적분을 면적분으로 바꾸어서 같은 결과를 얻을 수 있는 것입니다.
    수식 자체로 이해하시는게 더 편하실 겁니다.

    벡터 V curl의 면적분과 벡터 V의 선적분이 같다는 것입니다. 그래서 선적분이 필요한 경우
    그것의 curl의 면적분이 계산하기 더 쉽다면, 면적분으로 계산할 수 있는 것이죠.
    (한마디로 계산을 편하게 할 수 있죠.)

    증명은 살짝 기니 벡터 미적분학 책을 보시는게 좋으실 겁니다..

    다이버전스 정리라.. 가우스 정리를 말씀하시는 건가요?
    벡터 V에 대한 면적분은 벡터 V의 다이버전스의 체적적분과 같다는 것입니다.
    이 경우엔 다이버젼스는 벡터가 아닌 스칼라기 때문에 계산이 쉬운경우가 많습니다.
    가우스법칙아시죠? 가우스 법칙이 전기장의 플럭스의 계산을 바로 체적적분으로
    전환하여 계산하는 것입니다.

    역시 증명은 벡터 미적분학 책을 보시는게... ㅡ,.ㅡ

    참고로 다이버젼스의 물리적 의미는 어떤 폐곡면안에서 flux의 변화량을 나타냅니다.
    다시 말하면 폐곡면안에서의 소스나 싱크의 크기를 말하는 것이죠.

    출처 - http://blog.empas.com/atros527/13254563
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